Задачка

[Ося]

Задачка оказалась сложной. Я сам осознав её масштаб даже не взялся решать.
Вот хитрая задачка, для разминки, из дополнительных материалов для 5 класса (с дочкой решал):
Пловец плывет против течения реки. Под мостом теряет флягу и плывёт ещё 10 мин. Потом замечает потерю плывёт назад и догоняет её под другим мостом. Какая скорость течения реки если между мостами 1 км?

[Гесс]

пусть скорость пловца в стоячей воде в1 км/мин, а скорость реки в2 км/мин.
Скорость пловца против течения в1-в2. по течению в1+в2

Умный вариант:
за 10 минут он проплыл 10(в1-в2) км
Догоняя флягу он проплыл 1+10(в1-в2) км со скоростью в1+в2, то есть потратил на это (1+10(в1-в2)) / (в1+в2) минут
За (1+10(в1-в2))/(в1+в2) +10 минут фляга проплыла 1 км, со скоростью в2.
итого (1+10(в1-в2))/(в1+в2) +10 = 1/в2
Как то это нехорошо - уравнение одно, а неизестных аж 2, но мы ж не в анекдоте
(1+10(в1-в2))в2/(в1+в2) +10в2= 1
(1+10(в1-в2))в2/(в1+в2) = 1-10в2
(1+10(в1-в2))в2 = (1-10в2)(в1+в2)
в2+10в1в2-10в2в2=в1-10в1в2+в2-10в2в2
0=в1-20в1в2
в1(1-20в2)=0
Итого если скорость пловца не равна нулю (это собственно тоже удовлетворяет условию, может он барахтается и его сносит), то
в2=1/20 км/мин
А скорость пловца установить хаха - невозможно.

С другой стороны - нафига такие сложности?
(в1+в2)А-(в1-в2)Б=в2(А+Б) только в двух случаях в1=0 или А=Б=10минут
1км за 20 минут. Бинго.

"Как вы вычислили расстояние которое пролетит муха? - Я просуммировал ряд" © Джон фон Нейман

[ИСН]

Ну, простыми словами: в системе отсчёта, связанной с рекой (это надо как-то пересказать словами для 5 класса) чувак удаляется от фляги со своей собственной скоростью, и приближается потом с ней же, значит - столько же, значит, всего 20 мин.
Вспоминать так вспоминать... Чел идёт вниз по эскалатору, идущему вниз же, и насчитывает в нём n ступенек; а идя по нему вверх (и преодолевая его скорость) - m. Сколько он насчитал бы в неподвижном?

[Гесс]

(m+n)/2 ?
и тогда в "системе отсчета сязанной с флягой", или проще говоря - скорость относительно фляги.

[ИСН]

Е-е-е-е! Хрен там плавал! Не зря вспоминал. Нет, не то и не пополам. Какие ещё будут варианты?

[Ося]

Да, правильно, если принять систему координат относительно фляги то всё просто (в задаче про пловца).

[Ося]

(m-n)/4

[Гесс]

За время т1 ходок проходит н ступенек (со скоростью в1), за время т1 эскалатор со скоростью в2 сносит его вниз на х-н ступенек, где х число ступенек неподвижного эскалатора.
За время т2 ходок проходит м ступенек (со скоростью в1), за время т2 эскалатор со скоростью в2 сносит его вниз на m-x ступенек (так как m>x).
т1*в1+т1*в2=х
т2*в1-т2*в2=х
как то переменных много а толку мало.
в2(т1+т2)=в1(т2-т1)

Зайдем с другого конца.
Поставим двух ходоков сверху и снизу и запустим их по неподвижному эскалатору, очевидно через половину времени они встретятся на центре эскалатора. Отмотаем эскалатором их положение. Время осталось то же самое, люди попрежнему стоят рядом, но несколько ниже половины эскалатора.
При этом они насчитали одинаковое число ступеней (половину общей длины каждый).
скажем что соотношение преодоленных путей А/(х-А)=(в1+в2)/(в1-в2) А явно больше чем х/2
Попробуем выразить А
А=(в1+в2)/(в1-в2)*х-(в1+в2)/(в1-в2)*А
А*(1+(в1+в2)/(в1-в2))=(в1+в2)/(в1-в2)
А=((в1+в2)/(в1-в2))/(1+(в1+в2)/(в1-в2))=((в1+в2)/(в1-в2))/(((в1-в2)+(в1+в2))/(в1-в2))=(в1+в2)/(2в1)
Через некоторое время человек идущий вниз достигнет дна. на это ему потребуется еще (х-А)/(в1+в2) времени.
То есть его суммарное перемещение было (х/2/в1)*(в1+в2)+(х-(в1+в2)/(2в1))*(в1+в2) и это было х
(в1+в2)*(х/(2в1)+х-(в1+в2)/(2в1))=х
(в1+в2)*(х/(2в1)+х*(2в1)/(2в1)-(в1+в2)/(2в1))=х
(в1+в2)*(х+х*(2в1)-(в1+в2))/(2в1)=х
Как то смешались в кучу кони-люди, нафиг-нафиг.

[ИСН]

Ося, проверьте своё предположение в пределе при скорости эскалатора, стремящейся к нулю.
Гесс, бе-бе-бе-бе-бе!

[Гесс]

Действительно, давайте поговорим о предельных случаях.
Если скорость эскалатора бесконечно близка к скорости ходока, то идущий вниз насчитает половину ступеней в сравнении с неподвижным. А идущий вверх насчитал бы бесконечно много ступеней.
Если же скорость эскалатора близка к 0, то ответы обоих ходоков одинаковы и правильны.

Давайте не будем останавливаться но посмотрим еще пару случаев, может мы найдем закономерность.
Скажем если скорость ходока в два раза больше скорости эскалатора, то идущий вниз насчитает 2/3x, а идущий вверх - в 2x.
Короче недолго думая можно намалевать

Vverh-vniz.jpg

где по оси абсцисс отношение скорости эскалатора к скорости ходока, а по оси ординат относительное количество ступеней которые насчитает каждый ходок.
Отсюда видно, что дабы комбинацией m и n получить 1, число близкое к m надо делить на несколько большее число близкое к m, да потом еще в два раза (раз n не падает ниже 0.5).
Не мудрствуя лукаво это
n+x*(m-n)/2m=x
n/(1-(m-n)/2m)=x=n/((2m-m+n)/2m)=2mn/(m+n)

[ИСН]

Ага, так-то лучше.

[Гесс]

Было бы неплохо связать выражения в формуле с наблюдаемыми величинами а то пока это жуткая математическая абстракция.

[Ося]

Задача у дочки 4 класс (для разминки ума).
Когда четверых ребят спросили, сколько из них вчера ходили на каток, Саша ответила, что никто, Коля - что один человек, Тоня - что два, Женя - три. Известно, что правду сказали только те, кто ходил на каток. Сколько ребят ходили вчера на каток?

[Ahha]

Один. Но это и правда тривиально.

[Гесс]

Один, хотя я секунд на 20 подвис продумывая ответ Саши на парадокс лжеца.

[Ahha]

Тоже вспомнил несложную задачку: недавно бывшая однокурсница просила для её дочки подсказать решение (уровень 7-8-го физматкласса).

Изобразить на плоскости множество точек, удовлетворяющих уравнению Ιx-yΙ+(x+2y-4)⁴=0.

[Ося]

Один.
А это подобная посложнее.
В комнате 10 мегамозгов, какие-то из них — правдивцы, а какие-то — лжецы. Первый сказал: «Здесь нет ни одного правдивца», второй: «Здесь не более одного правдивца», третий: «Здесь не более двух правдивцев», ..., десятый «Здесь не более 9 правдивцев». Сколько правдивцев в комнате?

[Гесс]

Тоже вспомнил несложную задачку: недавно бывшая однокурсница просила для её дочки подсказать решение (уровень 7-8-го физматкласса).

Изобразить на плоскости множество точек, удовлетворяющих уравнению Ιx-yΙ+(x+2y-4)⁴=0.

Модуль есть число неотрицательное, любое числов 4ой степени есть число неотрицательоне, сумма двух неотрицательных чисел равна нулю лишь при условии что оба числа равны нулю.
Итого имеем систему уравнений
х-y=0
x+2y-4=0
Итого
х+2х-4=0
х=y=4/3

[Ося]

А это вообще "тяжелая артиллерия"
В преддверии Дня мегамозга администратор клуба «Игры разума» разослал десяти случайно выбранным участникам следующее сообщение: «Администрация сайта извещает Вас и 9 других участников о том, что каждый из вас получит денежный приз (одинаковый для всех), но при условии, что в течение недели один из вас (и только один!) пришлет ответное сообщение». После получения сообщения номинанты друг с другом не общаются. Как им следует поступить, чтобы максимизировать свои шансы получить призы?

[Гесс]

Один.
А это подобная посложнее.
В комнате 10 мегамозгов, какие-то из них — правдивцы, а какие-то — лжецы. Первый сказал: «Здесь нет ни одного правдивца», второй: «Здесь не более одного правдивца», третий: «Здесь не более двух правдивцев», ..., десятый «Здесь не более 9 правдивцев». Сколько правдивцев в комнате?

Неслабо так посложнее.
Первый говоривший лжец, ибо парадокс лжеца.
Второй говоривший впринципе мог бы быть правдивцем, однако ответ "один правдивец в комнате" входит в ответ "не более х правдивцев", и соответственно все последующие сказали правду. - соответственно второй лжец.
Пятый сказал что "не более 4 правдивцев", и его слова подтвердили еще 5 человек - то есть он лжец.
Шестой сказал "не более 5 правдивцев", его слова были подтверждены 4 другими - бинго. Их 5 на 5.
Если правдивцев 6 или больше - первые 5 соврали и не являются правдивцами, условие не соблюдено.

Суммируя - если число правдивцев в комнате меньше 5, то слишком много людей говорит правду.
Если правдивцев больше 5 то слишком много людей врет.