Задачка

[Ahha]

Я сильно стормознул и дошел до решения с другого конца: первый, разумеется, врет, но тогда десятый очевидно говорит правду. Дальше просто высчитывать, девятый, восьмой и т.д., на ком из них возникнет противоречие. Пятый таковым и оказывается.

[Гесс]

А это вообще "тяжелая артиллерия"
В преддверии Дня мегамозга администратор клуба «Игры разума» разослал десяти случайно выбранным участникам следующее сообщение: «Администрация сайта извещает Вас и 9 других участников о том, что каждый из вас получит денежный приз (одинаковый для всех), но при условии, что в течение недели один из вас (и только один!) пришлет ответное сообщение». После получения сообщения номинанты друг с другом не общаются. Как им следует поступить, чтобы максимизировать свои шансы получить призы?

Я правильно понимаю что игра окончится чрез неделю, с 0,1,2....10 полученными ответами, причем только один расклад является выиграшным?
Тогда задачу можно переформулировать следующим образом: в 10 изолированных камерах сидят 10 заключенных. У каждого есть возможность нажать на кнопку. Если по окончании времени х число нажавших на кнопку будет 1, то все свободны.
В такой постановке задачи задача имхо не имеет решения.
Какую роль играет неделя в исходной задаче опять же непонятно. Короче я в замешательстве.

[Ося]

Последняя задача на теорию вероятности. Найти вариант с наибольшей вероятностью. Мне так подсказали. Сам пока не взялся решать.

[Гесс]

Ок.
Допустим у каждого игорка есть монета, он ее подбрасывает и если выпадает орел - отправляет письмо.
Какова вероятность что из 10 монет одна и только одна будет орлом?
Рассмотрим подробнее.
Вероятность того что никто из 9 игроков не выкинет орла составляет (1/2)^9 и умножить на вероятность что орла выкинет десятый 1/2, так как престановки не играют роли то результат надо домножить на 10.
Допустим каждый игрок бросает игральный кубик, и посылает письмо только при выпадении шестерки.
Какова вероятность что из 10 бросков будет одна и только одна шестерка?

Так, я ухожу но моя мысль состоит в том что каждый из них должен собрать вертушку с определенным числом секторов.

[Ahha]

А если тупо посчитать варианты? У меня, правда, почему-то уже с учетом перестановок выходит 512 вариантов: каждый мегамозг знает, что он ответа еще не посылал, значит, есть 1 вариант, что из оставшихся 9 человек не ответил никто, 9 вариантов - что ответил 1, 36 варинтов - 2, и т.д. Всего получается (1+9+36+84+126)*2=512. А дальше, ну не знаю, написать простенькую программку, генерирующую случайные целые числа от 1 до 512, сесть перед сном, загадать число, запустить программку, если числа совпадут - посылать ответ, если нет - идти спать. Это на первый день. В последующие дни, возможно, надо как-то вводить поправку на то, что кто-то один уже мог ответить и как бы не оказаться вторым. Но как - понятия не имею.

Определенно я понял только одно: логического решения (без привлечения случайных чисел) такая задача иметь не должна: если б оно было, до него додумались бы все мегамозги и поступили бы одинаково, т.е., было бы либо 0, либо 10 ответов.

[Гесс]

Итак, я вернулся.
Предположим у нас есть некий генератор ответа (в простейшем случае вертушка с b секторов из которых a положительный ответ).
Тогда вероятность одного и только одного позитивного ответа после того как все мегамозги воспользуются им по одному разу, составляет
a/b*((b-a)/b)^9*10
так как пользоваться двумя переменными крайне неудобно разделим числитель и знаменатель каждой дроби на а и обозначим что b/a=x
1/x*((x-1)/x)^9*10
Понятно что в то время как a и b были натуральными, х просто рациональное и >1, а 1/х представляет собой вероятность выпадения "знакового события", против (х-1)/х вероятность невыпадения.
Наша цель состоит в том чтобы определить - при каком значении х функция 1/x*((x-1)/x)^9*10 имеет максимальное значение. Десятку можно выкинуть так как на результат она не влияет. Соответственно нам надо либо взять производную от выражения 1/x*((x-1)/x)^9 на интервале от 1 до бесконечности (для чего надо помнить университетский или физматшкольный курс производных), либо построить график.

Chanse for 1.jpg

Отсюда видно несколько вещей:
При использовании монеты с двумя орлами мозги проигрывают с вероятностью 100% (это собственно было очевидно).
Максимум на кривой соответствует вертушке с 1 выиграшным сектором из 10
Вероятность того что выиграет первый составляет примерно 0.038742049 - чуть меньше 4%, но с учетом перестановок (возвращаем десятку на место) - 38.7% шанс

[Гесс]

если мы примем что формула
1/x*((x-1)/x)^(х-1)*х справедлива для любого числа играющих х, то мы можем посмотреть и на то как меняется их шанс с ростом х
Для 2 игроков шанс очевидно равен 50% Слава богу формула не налажала.

Chanses for all.jpg

А вот и фокус - даже для миллиона мозгов шанс получить приз больше 1/3 и убывание похоже на асимптоту. К чему - я пока не задумался.

[Гесс]

Было бы прикольно провести натурный эксперимент с кучей отдельных пар игроков. (кучей - для статистической достоверности результата).
Почему то мне думается что количество "победивших" пар будет намного меньше половины.
Тройки кстати лучше пар, в паре перед каждым стоит равновероятный вопрос да/нет, в то время как в тройке да/нет+нет, это должно быть психологически проблемнее.

[ИСН]

Вероятность того что выиграет первый составляет примерно 0.038742049 - чуть меньше 4%, но с учетом перестановок (возвращаем десятку на место) - 38.7% шанс

В пределе там, видимо, 1/e.

[Гесс]

Вероятность того что выиграет первый составляет примерно 0.038742049 - чуть меньше 4%, но с учетом перестановок (возвращаем десятку на место) - 38.7% шанс

В пределе там, видимо, 1/e.

Ага, очень похоже.
Если х=n-1 то

1/x*((x-1)/x)^(х-1)*х

равно (n/(n+1))^n
lim ((n+1)/n)^n = e при n стремящемся к бесконечности
a lim (n/(n+1))^n очевидно к обратной величине.

[kika]

Простенькая задачка - на картинке.
Есть шесть спичек, между которыми текут 5 узких речек (спички - берега).
Как, сделав две перестановки, использовав в каждой перестановке только одну спичку,
получить одну широкую реку?

[Smol]

А остров на широкой реке может быть?

[antabu]

П П, или II II.

[kika]

А остров на широкой реке может быть?

Нет, остров на широкой реке не предполагается.

П П, или II II.

Нет, от этих перестановок хоть и возникнет одна река, но она не будет шире.

[Jinn]

В принципе, можно исхитриться и сделать 2 реки: одна река - Разлив (в Калининградской области), вторая - река Широкая (приток Разлива).

[kika]

Горячо!
Jinn, исхитритесь еще и сделайте из реки Разлив реку раз в 600 длиннее.

[Jinn]

Нил?

[Smol]

Тогда Нил должен быть написан так: Нiл

[kika]

Нил?

Да! Угадано Jinn.

[kika]

Тогда Нил должен быть написан так: Нiл

Совершенно верно, через I!