Погрешность косвенных измерений

[Maryna]

Коллеги, где я делаю ошибку?
Имеется некая величина а+-Δа.
Нужно вычислить y = 10^a.
Допустим, а+-Δа = 9+-0,5. Вроде, ничего страшного.
Вычисляю погрешность косвенных измерений по обычной формуле Δy = (dy/da)*Δa. В моём случае Δy = (d((10^a)/da)*0.5 = 10⁹*ln(10)*0.5 = 1.15*10⁹. Что, очевидно, больше y = 10⁹. На всякий случай вычислила относительную погрешность. Получила ожидаемые Δy/y = 1,15.
Но если взять крайние значения y(max) = 10^9+0,5 и y(min) = 10^9-0,5, то получаются вполне разумные пределы величины y.
Я понимаю, что погрешность иногда бывает больше самой величины, но неужели это тот случай? Может, надо брать точную формулу для погрешности косвенных измерений, а не приближенную? Почему результат правильных вычислений так отличается от интуитивного интервала между 10^y(max) и 10^y(min)? Ни в одном из своих учебников по погрешностям не встретила проблему 10^x.

[amge]

Я просимулировал Ваш пример численно, взяв 1е6 значений а, распределенных нормально вокруг а=9 со стандартным отклонением 0.5. Получил такое распределение у=10^а (с длинным-длинным хвостом):

distribution.png

Можно рассматривать несколько характеристик этого распредения: медиана, естественно, ровно 1е9, среднее - оно (из-за хвоста) сильно больше (3.2е9) и наиболее часто встечающееся значение - наоборот, меньше (2.3е8). Что правильнее - фиг знает. Хотя распределение не нормальное и вычислять для него стандартное отклонение бессмысленно, формально оно 1.9е9, даже больше, чем получается по формуле переноса погрешностей. Любопытно, что "интуитивный интервал" как раз укладывается в промежуток между наиболее часто встечающимся и средним значениями.

В общем, непонятно, как тут делать правильную статистику. Я бы взял "интуитивный интервал" и медиану в качестве "среднего".

[VTur]

Вычисляю погрешность косвенных измерений по обычной формуле Δy = (dy/da)*Δa.

Это для небольших Δa (линейное приближение), а далее требуется взять квадратичное слагаемое, кубическое и т.д. Исходя из величин следующих слагаемых. На какой-то величине их зануляют.

[chaus]

Помнится, на старших курсах был я на конференции (профессиональной, а не студенческой) "Мат.методы в химии", в Казани.
Там один аспирант делал маловразумительный доклад об оценках погрешностей косвенных измерений, а потом его научрук пояснил суть работы.
Суть оказалась именно в том, что при сильно нелинейных преобразованиях оценивать поле допуска результата лучше не дифференцированием, а прямым расчётом нижнего и верхнего предельного отклонения.
В данном случае для а = 9±0,5 для величины y = 10^a будет справедливо номинальное значение 10⁹, а поле допуска ограничено верхним предельно допустимым отклонением y(max) = 10^9+0,5 и нижним предельно допустимым отклонением y(min) = 10^9-0,5. А то, что поле допуска становится асимметричным -- ну что ж, в жизни всякое бывает, а на асимметричных допусках чуть не вся ЕСДП зиждется...

[Maryna]

amge, chaus, VTur, большое спасибо за комментарии. Похоже, классические допущения тут действительно не работают. Буду искать более серьёзную литературу по этому вопросу.

[stearan]

задача напомнила давние аспирантские времена - оценку параметров кинетических моделей. там тоже экспоненциальная нелинейность, из-за аррениусовской температурной зависимости. и тоже нельзя было пользоваться формулой, приходилось "вычислительными экспериментами" накопить данные и строить доверительную область, в виде n-мерного вытянутого эллипсоида. "формула" вроде строго справедлива только для линейных моделей.

[chaus]

далее требуется взять квадратичное слагаемое, кубическое и т.д. Исходя из величин следующих слагаемых. На какой-то величине их зануляют.

ТеоретиЦЦки можно попробовать и весь ряд Тейлора просуммировать, он должОн сойтись, но зачем? Задача того не стоит.

задача напомнила давние аспирантские времена - оценку параметров кинетических моделей. там тоже экспоненциальная нелинейность, из-за аррениусовской температурной зависимости. и тоже нельзя было пользоваться формулой, приходилось "вычислительными экспериментами" накопить данные и строить доверительную область, в виде n-мерного вытянутого эллипсоида. "формула" вроде строго справедлива только для линейных моделей.

Да, вспомнил, та аспирантка на конфере (Макарова? Мартынова? не помню) тоже обрабатывала кинетику по уравнению Аррениуса. Каноническая оценка справедлива для столь малых погрешностей, когда квадратичными членами и членами более высоких порядков можно пренебречь.