the electron-electron repulsion

[Himera]

Нет, Химера. Это принципиально разные вещи.

Тогда объясните, в чём разница. Никаких взаимодействий кроме электростатических в модели Хаббарда заведомо нет. Никаких спиновых операторов там тоже заведомо нет, а операторы рождения/уничтожения не могут существовать без спинового индекса, поскольку в противном случае нельзя учесть спиновую симметрию (принцип Паули).

[VTur]

Если они появляются при разложении в ряд, значит есть.

[Himera]

Вообще, мне всегда казалось, что в науке принято смотреть не на буковки, а на их смысл.

Гамильтониан Хаббарда -- частный случай записанного через операторы рождения/уничтожения гамильтониана произвольной системы фермионов с парными взаимодействиями. Например, гамильтониана электронной подсистемы молекулы/кристалла с явными слагаемыми типа e^2/|r_i-r_j|. Из них и получаются спиновые операторы... Кажется, с этого мы и начинали на первой странице темы.

[VTur]

Вообще, мне всегда казалось, что в науке принято смотреть не на буковки, а на их смысл. Гамильтониан Хаббарда -- частный случай записанного через операторы рождения/уничтожения гамильтониана произвольной системы фермионов с парными взаимодействиями. Например, гамильтониана электронной подсистемы молекулы/кристалла с явными слагаемыми типа e^2/|r_i-r_j|. Из них и получаются спиновые операторы... Кажется, с этого мы и начинали на первой странице темы.

Я к тому, что везде обменное - это электростатическое.
В гамильтониане Хаббарда как раз этого нет, хотя говорится, что есть.
Там собственные числа операторов рождения/уничтожения - 0, 1, 2. Если бы они были 0, 1 - это чистая электростатика. Два электрона не могут сидеть в одном узле из-за взаимного отталкивания.
Если 0, 1, 2, 3 и т.д. - потенциал неизвестной природы (или бозоны). Но так как доходит до 2, то это спин-спиновое взаимодействие фермионов. Поэтому, при разложении в ряд и возникают спиновые операторы.

[Himera]

По-моему, это новое слово в интерпретации модели Хаббарда... Вот есть у меня оператор n_{i\sigma}=C_{i\sigma}^+C_{i\sigma} -- что он делает при собственном числе 2, если на одном узле i может быть только один электрон со спином sigma?

Операторы C_{i\sigma} -- обычные фермионные операторы. Двухэлектронные состояния отвечают операторам X, в которых спиновая переменная фигурирует явно, а не просто находится в нижнем индексе и нумерует состояния. Но в самой модели Хаббарда никаких операторов X нет; их можно туда ввести как и в любой другой электронный гамильтониан.

[VTur]

Вопрос в том, может ли быть в узле два электрона? Если может, то электростатики здесь нет, а есть неявно выраженное спиновое взаимодействие.
Допустим, что это электростатика и в узле сидят два электрона. Что это, новая частица со спином 0 и потенциалом ~r? Новый лептон? Два заряженных электрона без межэлектронного отталкивания?

[Darth Vasya]

VTur, вот вы же сейчас сами говорите в терминах независимых электронов: вот тут у нас два, а тут - ни одного, и т.д. А в терминах независимых электронов обменное _расщепление_ имеется вполне в явном виде.

[Himera]

Если я ещё не потерял нить разговора, то VTur пытается доказать, что "обменное расщепление" -- полная фигня и величина, не имеющая отношения к реальности. А вот в модели Хаббарда каким-то таинственным образом заложено спин-спиновое взаимодействие, и именно его мы можем измерить. С учётом запутанности ответов здесь я бы предпочёл увидеть указанную трактовку в литературном источнике. Если же такого источника нет, то есть предложение вернуться к привычной и устоявшейся за 50 лет интерпретации модели Хаббарда, а обсуждение прекратить.

Вопрос в том, может ли быть в узле два электрона?

Да, могут быть два электрона с разными спинами. Да, при этом они отталкиваются с потенциалом U. Какие проблемы? Двум электронам невыгодно быть на одном узле, но при U<\infty есть ненулевая вероятность попадания двух электронов с разными спинами на один узел.

[Darth Vasya]

Да как бы и сама реальность - тоже фигня и величина, не имеющая отношения к реальности И вот если про эту самую реальность говорить в терминах "а вот тут у меня сидит электрон", то будьте добры признавать обменное расщепление. Конечно, на уровне "истинной" многоэлектронной-многонуклонной волновой функции (про Уилера и ДеВитта даже вспоминать не будем ) никакого расщепления нет - но нет и "электронов вот тут".

[VTur]

Да как бы и сама реальность - тоже фигня и величина, не имеющая отношения к реальности

Я, кстати, так не говорил. Я говорил, что модель независимых электронов приводит к расщеплению кулоновского взаимодействия на два слагаемых. Одно так и называется кулоновским, второе - обменным. Но в реальности существует только одно - их сумма. В модели Хаббарда под обменным подразумевают совсем другое, но называют это электростатическим.

[VTur]

Если не представлять волновую функцию в виде определителя из орбиталей, то обменного взаимодействия нет; нет его и в методе Хартри - волновая функция = произведению орбиталей, и нет его с волновой функцией без разложения на орбитали (более точная модель). Обменное взаимодействие появляется в одних моделях, в других не появляется. В точных моделях его нет, значит это артефакт.

[Himera]

Круг в очередной раз замкнулся... что же, продолжим работать с "артефактами"

Есть ещё много интересных моделей. Например, можно придумать новую интерпретацию модели Стонера; вдруг получится интересно? Удачи)

[Darth Vasya]

В точных моделях его нет, значит это артефакт.

Сверхпроводимость, кстати, тоже в точной модели отсутствует. Т.е. её как бы и нету на самом деле?

[VTur]

В точных моделях его нет, значит это артефакт.

Сверхпроводимость, кстати, тоже в точной модели отсутствует. Т.е. её как бы и нету на самом деле?

Сверхпроводимости нет в точной модели потому, что самой точной модели для нее нет. А для молекулы Н₂ можно взять степенной ряд очень большой длины, метод Ритца и получить решение с наперед заданной точностью. Только обменного взаимодействия там не будет.

[Himera]

Сверхпроводимости нет в точной модели потому, что самой точной модели для нее нет.

А Вы никогда не задумывались, за что Бардину, Куперу и Шрифферу дали Нобелевскую премию? Кстати, это ещё один показательный пример того, как существенно спиновый эффект может быть отражён в рамках нерелятивистской теории.

[VTur]

Сверхпроводимости нет в точной модели потому, что самой точной модели для нее нет.

А Вы никогда не задумывались, за что Бардину, Куперу и Шрифферу дали Нобелевскую премию? Кстати, это ещё один показательный пример того, как существенно спиновый эффект может быть отражён в рамках нерелятивистской теории.

Моя твоя не понимай.
Им дали премию за объяснение эффекта. Гамильтониан там для вырожденного ферми-газа также переписан через спиновые операторы рождения/уничтожения фермионов в явном виде. Электростатического взаимодействия нет вообще. Его роль в какой-то мере играет "константа связи". Они представили с помощью этих операторов взаимодействующие со средой электроны как пара электронов =бозон и далее их конденсацию. Электроны могут находится только в синглетном состоянии и взаимодействовать только попарно.Это очень приближенная модель, но она работает. Правда высокотемпературную проводимость металлов так и не нашли.

[Himera]

Я исключительно о том, что БКШ -- это точная и нерелятивистская теория сверхпроводимости. Разумеется, ни для одного реального материала эта теория не является точной, но для материалов и не нужны точные теории -- нужна хорошая квантовая химия.